Le mouvement des fluides newtoniens, c'est-à-dire dont la viscosité ne dépend pas de la pression (en particulier de l'eau dans les réacteurs à eau pressurisée) est décrit par les équations de Navier-Stokes, qui sont des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires.
La formulation la plus simple se met sous la forme de deux équations couplées : une EDP avec pour la vitesse u : un terme de dérivée en temps du/dt, un terme de diffusion, un terme de convection, et le gradient de la pression. La seconde équation est une contrainte de divergence nulle pour la vitesse u (incompressibilité du fluide).
Le fait que les équations de Navier-Stokes soient un système d'EDP contraint entraîne des difficultés mathématiques et numériques. En particulier, d'un point de vue numérique, après discrétisation, il est difficile de trouver une paire d'éléments finis stables et précis. La brique de base pour étudier les équations de Navier-Stokes est le problème de Stokes, pour lequel les termes en du/dt et de convection disparaissent. C'est un problème mixte en vitesse-pression, satisfaisant une condition inf-sup. Concernant la discrétisation de ce problème, la paire P1xP0, c'est-à-dire vitesse P1-lagrange et pression P0 semble intéressante, mais elle n'est pas stable sur tous les maillages. Nous proposons d'étudier une formulation coercive du problème de Stokes, permettant d'utiliser la paire P1xP0. Dans cette formulation, on a besoin de connaître une approximation de la pression. Celle-ci peut être calculée à l’aide d’une paire d'éléments finis stable, comme l'élément finis mixte de Crouzeix-Raviart, c'est-à-dire vitesse P1 non conforme et pression P0. Cette méthode en deux étapes permet d’améliorer notablement les erreurs obtenues, d’autant plus dans le cas où la viscosité est petite. Or, dans les applications qui intéressent le LMSF, la viscosité est de l’ordre de 10−5. On propose dans ce stage d’utiliser cette stratégie pour résoudre les équations de Navier-Stokes à l’aide de la paire P1×P0, en ayant calculé la pression initiale avec l'élément finis mixte de Crouzeix-Raviart). L’implémentation se fera sur une maquette numérique Octave. On pourra s’inspirer des techniques de compressibilité artificielle, développées par Guermond et Minev.

Le stage est proposé aux étudiants préparant un diplôme Bac + 5 (Écoles d'Ingénieurs ou Masters 2ème année) ayant suivis une formation en mathématiques appliquées (calcul scientifique et/ou analyse numérique).